Teorema fundamental de la aritmetica

                                             Teorema Fundamental de la Aritmética

Un entero  1 es llamado un número primo, sí y sólo sí sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un entero mayor que 1 que no sea primo se llama compuesto.

 Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo entero n > 1 puede ser expresado como producto de primos. Esta representación es única, salvo el orden de los factores.


Ejemplo: Los siguientes números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Los siguientes números son compuestos: 4, 6, 9, 14, 15, 16, 21

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos.

                   

Importancia: El teorema establece la importancia de los números primos. Éstos son los «ladrillos básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: ${\displaystyle 2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}}$, donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de ${\displaystyle 4\cdot 2\cdot 3=24}$ divisores positivos

El valor de los dos lados de esta ecuación es obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como para ser factorizable. Como r es menor que p₁, las dos factorizaciones obtenidas en ambos lados después de haber escrito k y r como producto de primos deben ser diferentes. Esto contradice la suposición de que s es el entero más pequeño que se puede factorizar en más de una forma. Por tanto, la suposición inicial debe ser falsa.

En este vídeo aprenderás Diversos conocimientos de Aritmética.